El álgebra lineal y el cálculo (página 2)

Teorema

Si es un punto de
extremo local de una función
y en dicho
punto están definidas todas las derivadas
parciales de primer orden de entonces .

Como se ve este teorema solo expresa condiciones
necesarias de existencia de puntos de extremo local bajo el
supuesto de que la función tiene derivadas parciales
respecto a cada variable definidas en dicho punto (para ello es
suficiente pero no necesario que la función sea
diferenciable). A los puntos que anulan todas las parciales de
primer orden se les denomina puntos críticos
estacionarios.

Análogamente al caso de una variable existen en
el caso de dos o más variables
puntos estacionarios que no son puntos de extremo
local.

Entonces, ¿Cómo saber si un punto
estacionario es realmente un punto de extremo local?

Se hace necesario enunciar condiciones suficientes de
existencia de puntos de extremo local. Estas condiciones pueden
expresarse en términos de determinantes de matrices
reales simétricas o en términos de valores
propios de tales matrices.

Recordemos que:

Si A es una matriz
cuadrada de orden nXn con elementos en un cuerpo K e I es la
matriz identidad del
mismo orden que A entonces al polinomio definido por el determinante se le denomina polinomio
característico de A y a sus ceros o raíces
pertenecientes a K se les denomina valores
propios, auto valores o valores característicos de A. En
el caso de matrices reales simétricas sus valores propios
son siempre reales .Que sea un valor propio
de A significa que existe al menos un vector no nulo tal que .

De igual manera que una matriz cuadrada de orden nXn
define una función lineal (endomorfismo u operador lineal)
del espacio vectorial en sí mismo pues toda matriz real
simétrica define una forma cuadrática real a la
cual representa en la base canónica. Dicha forma
cuadrática es una función definida por .En el caso de funciones reales
de varias variables las cuales tengan segunda derivadas parciales
continuas pues la segunda diferencial es una forma
cuadrática en la cual admite como representación en la base
canónica la llamada matriz
hessiana de la correspondiente función de varias
variables. En Algebra Lineal se
estudian clasificaciones de las formas cuadráticas
según el signo de los valores
propios de la matriz canónica correspondiente. Pues bien
según el signo de la forma cuadrática que
constituye la segunda diferencial de una función con
segundas derivadas parciales continuas se logran enunciar
condiciones suficientes de segundo orden para la existencia de
extremos locales o relativos. Este teorema solo lo enunciaremos
para el caso de tres variables pero perfectamente puede ser
enunciado en forma general. Hágalo!

Teorema (Condiciones
suficientes de segundo orden para la existencia de puntos de
extremo local)

Sea una función
con segundas
derivadas parciales continuas en el punto estacionario .

Sea la matriz llamada Hessiana
de

en . Entonces:

1. Si todos los valores
   propios de M son positivos es un punto de mínimo local.
2. Si todos los valores
   propios de M son negativos es un punto de máximo local.

   de extremo
   local.

3. Si todos los valores
   propios de M son no negativos es un punto de mínimo local o
   no es un punto

   de extremo
   local.

4. Si todos los valores
   propios de M son no positivos es un punto de mínimo local o no es un
   punto
5. Si los valores propios
   de M son al menos uno positivo y otro negativo pero ninguno
   nulo entonces

no es un punto de extremo
local

Notas:

Este teorema puede ser enunciado en términos del
determinante de la matriz Hessiana y sus menores principales lo
cual desde el punto de vista algebraico no es otra cosa que la
aplicación del Criterio de Sylvester para determinar el
signo de una forma cuadrática.

Obsérvese que el teorema solo permite determinar
el carácter de un punto crítico
estacionario por lo que si el punto crítico no es
estacionario hay que recurrir a investigaciones
complementarias.

Ludwig Otto Hess
(1811-1874)

El hessiano, conocido también como discriminante
o matriz hessiana, fue introducido en el año de 1844 por
Hesse, matemático alemán quien nació en 1811
y murió en 1874. Esto sucedió luego de que Carl
Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) introdujera "los jacobianos". Lo
que hizo Jacobi con esto fue expresar los cambios de variable de
las integrales
múltiples en términos de estos.

Respecto a los detalles biográficos de Ludwig
Otto Hess se sabe que nació precisamente en Konigsberg,
Alemania
(aunque actualmente es Rusia) el 22
de abril de 1811. Estudió con Jacobi en su ciudad natal
(Konigsberg), donde se desempeñó primero como
maestro de física y química y
posteriormente como profesor. En
1856 se trasladó a Heidelberg, donde permaneció
doce años, antes de tomar un puesto en Munich, donde
falleció el 4 de agosto de 1874.

Ludwig Otto Hess se hizo tan famoso por una matriz que
introdujo en un artículo de 1842 referido a curvas
cúbicas y cuadráticas.

A continuación muestro algunos ejemplos en cada
uno de los cuales se desea determinar los puntos de extremo local
de una función polinomial en por lo que ya tenemos garantizado
que:

• El dominio de la
  función es todo
• La función es diferenciable por lo que los
  únicos candidatos a puntos de extremo son los puntos
  estacionarios debido a lo cual de no haber puntos estacionarios
  pues no habría extremos locales.

a)

En este caso

Hallemos los puntos estacionarios para lo cual tenemos
que resolver el sistema lineal de
ecuaciones:

Este
sistema es compatible determinado y su solución es
.

Investiguemos el cumplimiento de las condiciones
suficientes conformando la matriz Hessiana.

Esta
matriz es diagonal por lo que sus valores propios
son sus entradas o elementos diagonales. Como los
valores propios son no nulos y de diferente signo pues el punto
estacionario encontrado no es punto de extremo local.

Nota: Los puntos estacionarios que no son puntos
de extremo local se denominan puntos de
ensilladura.

b)

En este caso .Resolviendo el sistema compatible determinado
obtenemos el
punto estacionario . La matriz Hessiana es cuyos valores propios son todos iguales a
2(Compruébelo!!) por lo que el punto es un punto de
mínimo local.

c)

En este caso mas tenemos que resolver el sistema el cual tiene
exactamente dos soluciones las
cuales son .
Las matrices Hessianas son y .Los valores característicos de son 6,4 y 16 mientras
que los de son
-6,4 y 16 por lo que el primero de los puntos estacionarios es un
punto de mínimo local y segundo no es ni de mínimo
ni de máximo.

Te proponemos investigues en los incisos
siguientes(algunos de los cuales se resuelven) la existencia de
extremos locales.

d)

Respuesta:

Hallemos las derivadas parciales primeras.

Para hallar los puntos críticos
estacionarios resolvemos el SEL obtenido a igualar a
cero las derivadas parciales y simultaneando las
ecuaciones obtenidas obteniéndose un SEL compatible
determinado cuya solución es (1; 0;-1).

¿Será este punto estacionario un punto
de extremo relativo?

Hallemos las derivadas parciales de segundo orden
evaluadas en el punto estacionario y conformemos la Matriz
Hessiana obteniéndose la matriz cuyo polinomio característico
tiene las raíces o ceros: por lo que todos los valores propios de esta
matriz son positivos o sea es una matriz simétrica real
definida positiva lo que implica que el punto estacionario
es un punto de mínimo local.

e)

f)

g)

h)

Respuesta:

Hallemos las derivadas parciales primeras.

Para hallar los puntos críticos
estacionarios resolvamos el sistema obtenido a igualar a cero
las derivadas parciales y simultaneando las ecuaciones
obtenidas obteniéndose (1/2; -2; 0).

¿Será este punto estacionario un punto
de extremo relativo?

Procediendo en forma análoga para conformar la
Matriz Hessiana se obtiene la matriz cuyo polinomio
característico tiene las raíces o ceros:
por lo que
todos los valores propios de esta matriz son no
negativos pero uno de ellos nulo o sea es una matriz
simétrica real semi definida positiva lo que
implica que el punto estacionario o es un punto de
mínimo local o es de silla.

i)

j)

Considero conveniente resaltar que en muchos casos la
investigación del cumplimiento de estas
condiciones suficientes no son muy recomendables debido a la
complicación algebraica de la expresión
analítica de la función.

Ejemplo:

En los casos en los que al menos uno de los valores
propios sea nulo para poder decidir
habría que recurrir a otros recursos entre
los cuales se encuentran criterios de suficiencia los que a su
vez involucran derivadas parciales de orden superior al
segundo.

Conclusiones

Con este material he pretendido mostrar cómo
ciertos resultados que se tienen para funciones reales de dos o
más variables reales y que tienen una estrecha
relación con tópicos del Algebra Lineal.

Autor:

Alejandro Martínez Catellini

Datos del Autor:
Graduado de Lic. en Educación,
Especialidad Matemática(1993)

Profesor de Matemática del ISPJAE y en
prestación de servicios por
4 cursos en la Universidad de
Ciencias
Informáticas.

Jefe de colectivo de la disciplina
Matemática en la facultad 7 en la UCI.

Durante 12 cursos impartió clases en la enseñanza pre universitaria.

Cuba.

Universidad de Ciencias Informáticas

Facultad 7

La Habana

– 2008-